Абсолютно или условно сходится ряд. Знакопеременный ряд
Рассмотрим ряды, члены которых имеют произвольные знаки, такие ряды будем называть знакопеременными (заметим, что в математической литературе термины знакопеременный и знакочередующийся ряд – о таких рядах речь пойдет позже – означают одно и то же; но мы здесь приняли терминологию, используемую Пискуновым Н.С. в его «Дифференциальном и интегральном исчислении» только для сокращения записи: вместо слов «ряд, члены которого имеют произвольные знаки» будем говорить «знакопеременные ряды»). Если заданный ряд имеет только конечное число отрицательных членов, то, отбросив их, можно свести дело к исследованию ряда с положительными членами. То же касается ряда, в котором только конечное число положительных членов. Поэтому будем заведомо предполагать, что среди членов ряда есть бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов.
Справедлива следующая теорема
Теорема 30. 8. (признак абсолютной сходимости)
Пусть дан ряд с членами произвольных знаков. Если сходится ряд
составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и данный ряд. При этом 
.
Определение 30.4. Если ряд сходится и сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся .
Для выяснения абсолютной сходимости заданного ряда к ряду из его модулей могут быть применены признаки, рассмотренные нами в предыдущем пункте. Но нужно быть осторожным с признаками расходимости: если ряд из модулей расходится, то исходный ряд может и сходиться (условно). Исключение составляют лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши, так как когда эти признаки констатируют расходимость ряда , то это означает, что , но тогда и , что означает расходимость ряда .
Сформулируем эти признаки применительно к знакопеременному ряду
Признак Даламбера.
, то
при d < 1 ряд сходится абсолютно,
при d > 1 ряд расходится,
при d =1 нужны дополнительные исследования.
Признак Коши радикальный.
Если для знакопеременного ряда существует 
, то
при K < 1 ряд сходится абсолютно,
при K > 1 ряд расходится,
при K = 1 требуются дополнительные исследования
Пример. Исследуем сходимость ряда 
. Применим к нему признак Коши: 
– ряд сходится абсолютно.
Среди знакопеременных рядов особую роль играют так называемые знакочередующиеся ряды . Знакочередующимся рядом называют ряд, члены которого поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки (см предыдущий пример). Такой ряд обычно записывают в виде
при этом предполагается, то все а п > 0.
Для знакочередующихся рядов имеет место
Теорема 30.9. (Теорема Лейбница)
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, т.е."п | a n | >| a n +1 |, и , то ряд сходится. При этом сумма ряда по абсолютной величине не превосходит модуля первого члена ряда, т.е. и имеет тот же знак, что и первый член ряда.
Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, называют рядом лейбницевского типа.
Пример
. Рассмотрим сходимость ряда 
. Проверим выполнение условий Теоремы 5.9.: | a n
| >| a n
+1 |, действительно, > "п
³1, а также 
, значит, ряд сходится. А так как ряд из абсолютных величин этого ряда есть расходящийся гармонический ряд , то исходный ряд сходится условно.
Замечание. Так как любой остаток ряда лейбницевского типа есть также ряд лейбницевского типа, то в случае сходимости ряда, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит модуля своего первого члена:
| R n | = |S – S n | £ |a n +1 |.
Это удобно использовать для оценки точности приближенного вычисления суммы данного ряда.
Определение 1
Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $, члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} +\ldots - $ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 2
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n} $ называется остатком ряда, причём $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } r_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } (S-S_{n})=S-S=0$, т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Определение 3
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Определение 4
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, а ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Замечание
Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов . Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} $ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} $ (гармонический ряд) расходится.
Свойство 1
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S"$ - сумма всех его положительных членов, а $S""$ - сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ равна $S=S"-S""$.
Свойство 2
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится и $C={\rm const}$, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }C\cdot u_{n} $ также абсолютно сходится.
Свойство 3
Если ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }v_{n} $ абсолютно сходятся, то ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(u_{n} \pm v_{n}) $ также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана)
Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Пример 1
Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} .\]
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.
Пример 2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $.
- Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} =u_{n} $ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =\left|u_{n} \right|=\frac{\sqrt{n} }{n+1} $. Получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ рассмотрим ряд, который имеет вид $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } \, $. Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=\frac{1}{2}
- Далее исследуем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} $, где $a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} >0$, т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1} $, определенную при $x\in }
